آشنایی با 8 توزیع آماری مهم که باید در مورد آن‌ها اطلاع داشته باشید

تکنیک‌های توزیع داده

تکنیک‌های توزیع داده، زیربنای آمار و تجزیه‌وتحلیل داده‌ها به‌شمار می‌روند و راهکاری برای توصیف شکل و رفتار مجموعه داده‌ها در اختیار ما قرار می‌دهند. یکی از مفاهیم مهم و کلیدی آمار و احتمالات که باید در مورد آن اطلاع داشته باشید این است که بیشتر متغیرهای تصادفی به‌شکلی مدل‌سازی می‌شوند که می‌توان آن‌ها را با پارامترها توصیف کرد. این فرآیند توزیع داده نام دارد. درک توزیع داده‌ها به شما اجازه می‌دهد الگوها و روندها را در داده‌ها شناسایی کنید، پیش‌بینی کنید و نتیجه‌گیری دقیقی در مورد مجموعه داده‌‌ها ارائه کنید، با قاطعیت کامل درباره یافته‌های خود درباره تنوع داده‌‌ها صحبت کنید و آزمون‌ها و مدل‌های آماری مناسبی را انتخاب کنید که با توزیع داده‌های شما هماهنگ باشند. با توجه به توضیحاتی که ارائه کردیم، باید بگوییم که درک کامل توزیع داده‌ها اجازه می‌دهد از داده‌های خود به بهترین شکل استفاده کنیم و بینش‌های معناداری به‌دست آوریم. 

اهمیت تسلط بر تکنیک‌های توزیع داده برای تجزیه‌وتحلیل داده‌ها

تسلط بر تکنیک‌های توزیع داده برای تجزیه‌وتحلیل داده‌ها بسیار مهم است. در دنیای امروز که حجم داده‌ها به‌سرعت رشد می‌کند، توزیع داده‌ها و مدیریت نقش مهمی در استفاده بهینه از اطلاعات دارد. تسلط بر تکنیک‌های توزیع داده نقش مهمی در تسهیل دسترسی به داده‌ها دارد. با توزیع داده‌ها، می‌توان به‌راحتی دسترسی به داده‌ها را فراهم کرد. این امر امکان استفاده از داده‌ها در زمان و مکان دلخواه را به محققان و تحلیل‌گران  فراهم می‌کند. همچنین، با توزیع داده‌ها در سیستم‌های پردازش توزیع‌شده، می‌توان عملیات تجزیه‌وتحلیل را با سرعت بالاتری انجام داد. این امر به تحلیل‌گران امکان می‌دهد به‌طور موثر در زمان کوتاه‌تر نتایج موردنظر را به‌دست آورند. 

تحلیل‌گران داده به‌خوبی از این نکته اطلاع دارند که با توزیع داده‌ها، می‌توان به‌راحتی سیستم‌هایی را ایجاد کرد که قابلیت مقیاس‌پذیری داشته باشند.به بیان دقیق‌تر، با افزایش حجم داده‌ها، می‌توان سیستم را به‌گونه‌ای طراحی کرد که بتواند با این حجم بزرگ داده‌ها سازگار باشد و عملکرد خود را حفظ کند. توزیع داده‌ها نقش مهمی در امنیت داده‌ها دارد. 

با توزیع داده‌ها و استفاده از روش‌های حداقل مجوز (Least Privilege)، امنیت داده‌ها افزایش می‌یابد و مقاومت در برابر خطا و نویزها را بیشتر می‌کند. به‌طور کلی، تسلط بر تکنیک‌های توزیع داده کمک می‌کند به مزایای زیر دست پیدا کنیم: 

• دسترسی آسان‌تر: دسترسی به داده‌ها در زمان و مکان دلخواه راحت‌تر می‌شود.
• سرعت بالا: عملیات تجزیه‌وتحلیل داده‌ها با سرعت بیشتری انجام می‌شود. 
• امنیت: افزایش امنیت داده‌ها با استفاده از توزیع داده‌ها و روش‌های امنیتی مناسب، باعث می‌شود به نتایج دقیق‌تری دست پیدا کنیم.

توزیع آماری داده‌ها چیست؟

توزیع آماری داده‌ها به شیوه توزیع و پراکندگی داده‌ها در یک مجموعه اشاره دارد. در واقع، توزیع آماری داده‌ها نحوه توزیع احتمال داده‌ها در یک متغیر تصادفی را توصیف می‌کند. این توزیع اطلاعاتی درباره مقادیر ممکن داده‌ها، احتمال وقوع هر مقدار و نحوه توزیع آن‌ها ارائه می‌دهد. توزیع آماری داده‌ها می‌تواند به‌صورت یک توزیع گسسته یا پیوسته باشد. در توزیع گسسته، داده‌ها به‌صورت متناوب و مشخص توزیع می‌شوند، مانند توزیع یکنواخت یا توزیع دوجمله‌ای. در توزیع پیوسته، داده‌ها به‌صورت مستمر و بی‌پایان توزیع می‌شوند، مانند توزیع نرمال یا توزیع نمایی. توزیع آماری داده‌ها می‌تواند با استفاده از پارامترها تعریف شود. برخی از پارامترهای مهم در توزیع‌های آماری به‌شرح زیر هستند:

• میانگین: مقدار متوسط داده‌ها که نشان‌دهنده مرکز توزیع است را نشان می‌دهد.
• واریانس: پراکندگی داده‌ها به ازای میانگین را نشان می‌دهد.
• انحراف معیار: جذر واریانس و نشان‌دهنده پراکندگی داده‌ها در مقایسه با میانگین است.
• بسته به نوع توزیع، پارامترهای دیگری مانند پارامترهای شکل و مقیاس ممکن است وجود داشته باشند.

به‌طور کلی، توزیع آماری داده‌ها، ابزاری قدرتمند در تحلیل و تفسیر داده‌ها و استخراج اطلاعات آماری است. با استفاده از توزیع آماری، می‌توان معیارهای آماری مختلفی را محاسبه کرده و توصیف‌های دقیقی از داده‌ها ارائه داد. همچنین، از توزیع آماری می‌توان در تحلیل و پیش‌بینی رویدادها و اطلاعات آینده نیز استفاده کرد. در زیر، به برخی از توزیع‌های آماری رایج اشاره می‌کنیم:

1. توزیع نرمال (Normal Distribution) یا گاوسی

این توزیع یکی از رایج‌ترین توزیع‌ها است و در بسیاری از پدیده‌ها در طبیعت وجود دارد. داده‌هایی که به‌صورت منحنی نرمال توزیع شوند، متمرکز بر حول میانگین خود هستند و به‌طور معمول به‌صورت منحنی نمایی در نمودارهای توزیع فراوانی نشان داده می‌شوند. این توزیع در مقایسه با مواردی که اشاره خواهیم کرد، پرکاربردترین و مهم‌ترین است. این توزیع با نام‌های دیگری نیز شناخته می‌شود، مانند توزیع گوسی (Gaussian Distribution) یا منحنی بل (Bell Curve). این توزیع با دو پارامتر میانگین (μ) و واریانس (σ²)، تعیین می‌شود. تابع چگالی احتمال توزیع نرمال به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

f(x) = (1 / √(2πσ²)) * exp(-((x-μ)² / (2σ²)))

در این فرمول، x نشان‌دهنده متغیر تصادفی است که مقادیر آن در دامنه حقیقی قرار دارد. میانگین (μ) مرکز توزیع را نشان می‌دهد و واریانس (σ²) پراکندگی داده‌ها را نشان می‌دهد. توزیع نرمال ویژگی‌های شاخصی دارد که از مهم‌ترین آن‌ها به موارد زیر باید اشاره کرد:

1.  تقارن: توزیع نرمال رویکردی متقارن دارد، به این معنی که میانگین آن در مرکز توزیع قرار دارد و دو نیمه‌ توزیع برابر هستند. 
2.  خواص میانگین و واریانس: میانگین، میانه و توزیع نرمال همگی برابر با هم هستند. همچنین، 68 درصد داده‌ها در یک بازه یک واریانسی اطراف میانگین قرار می‌گیرند و 95 درصد داده‌ها در یک بازه دو واریانسی اطراف میانگین قرار می‌گیرند.
3.  توزیع پیوسته: توزیع نرمال یک توزیع پیوسته است؛ به این معنی که می‌تواند هر مقدار حقیقی را بگیرد.
4.  مهم‌ترین توزیع در آمار: به‌دلیل ویژگی‌های خاص خود، توزیع نرمال یکی از مهم‌ترین توزیع‌ها در آمار است. بسیاری از مدل‌ها و روش‌های آماری بر پایه‌ فرضیه‌های توزیع نرمال ساخته شده‌اند.

توزیع نرمال در مجموعه‌های داده‌ها و تجزیه‌وتحلیل آماری بسیار کاربرد دارد. به‌عنوان مثال، در تحلیل آماری، توزیع نرمال برای مدل‌سازی داده‌ها استفاده می‌شود و در مواردی که داده‌ها به‌صورت تقریبا نرمال توزیع شده‌اند، می‌توان از آن به‌عنوان تخمینی از توزیع واقعی استفاده کرد. همچنین، توزیع نرمال در محاسبه‌ احتمالات و مقادیر حساس، ساخت فاصله‌های اطمینان و انجام آزمون فرضیه‌ها نیز استفاده می‌شود. در نهایت، مهم‌ترین ویژگی توزیع نرمال این است که بسیاری از پدیده‌ها در طبیعت و جامعه به‌صورت تقریبا نرمال توزیع شده‌اند، به‌عنوان مثال، قد، وزن، دمای هوا، نمرات دانش‌آموزان و غیره. همین مسئله باعث شده تا توزیع فوق در چنین مسائلی کاربرد زیاد داشته باشد. 

2. توزیع یکنواخت (Uniform Distribution)

در این توزیع، احتمال برابری برای هر مقدار در یک بازه خاص وجود دارد. به عبارتی، داده‌ها به‌طور یکنواخت در طول بازه توزیع می‌شوند. در این توزیع، احتمال برای هر متغیر تصادفی در یک بازه مشخص، یکسان است. به عبارت دیگر، توزیع یکنواخت با نام توزیع مستطیلی (Rectangular Distribution) نیز شناخته می‌شود. توزیع یکنواخت به‌صورت یک شکل مستطیلی ساده توصیف می‌شود، که احتمال در هر نقطه از بازه مشخص برابر است و خارج از آن بازه صفر است. این بازه مشخص شامل دو حد بالا و پایین است که به ترتیب با a و b نشان داده می‌شوند. تابع چگالی احتمال توزیع یکنواخت به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

f(x) = 1 / (b - a)

در این فرمول، x نشان‌دهنده متغیر تصادفی است که مقادیر آن در بازه [a, b] قرار دارد. از ویژگی‌های شاخص توزیع یکنواخت به موارد زیر باید اشاره کرد: 

• توزیع یکنواخت پیوسته است: متغیر تصادفی در توزیع یکنواخت می‌تواند هر مقدار پیوسته‌ای را در بازه [a, b] بگیرد.
• احتمال یکنواخت: احتمال در هر نقطه داخل بازه [a, b] برابر است و برای هر نقطه خارج از این بازه، صفر است.
• محاسبه میانگین و واریانس: میانگین توزیع یکنواخت برابر با(a + b) / 2 است و واریانس برابر با ((b - a)²) / 12 است. 
• عدم تقارن: توزیع یکنواخت برخلاف توزیع نرمال، تقارن ندارد و تمرکز بر روی یک بازه مشخص است.

توزیع یکنواخت در مسائل مختلفی مورد استفاده قرار می‌گیرد. به‌طور مثال، در مدل‌سازی رخدادها می‌توان از توزیع یکنواخت برای مدل‌سازی رخدادها در یک بازه زمانی مشخص استفاده کرد، به‌طور مثال زمان بین دو رخداد مشخص. همچنین، در شبیه‌سازی‌ها، توزیع یکنواخت برای تولید اعداد تصادفی در مدل‌سازی و شبیه‌سازی‌ها استفاده می‌شود. 

3. توزیع دوجمله‌ای (Binomial Distribution)

این توزیع برای متغیرهای تصادفی دودویی استفاده می‌شود. مثالی از این توزیع، پرتاب سکه است که نتیجه آن می‌تواند شیر یا خط باشد. این توزیع برای مدل‌سازی تعداد موفقیت‌ها در تعداد مشخصی تلاش مستقل و یکسان استفاده می‌شود. توزیع دوجمله‌ای بر اساس دو پارامتر تعریف می‌شود: n و p. پارامتر n تعداد تلاش‌ها یا آزمایش‌ها را نشان می‌دهد و p احتمال موفقیت در هر آزمایش است. به عبارت دیگر، در هر آزمایش، موفقیت با احتمال p و شکست با احتمال (1 - p) رخ می‌دهد. تابع چگالی احتمال توزیع دوجمله‌ای به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

P(X = k) = C(n, k) * (p^k) * ((1 - p)^(n - k))

در این فرمول، X نشان‌دهنده متغیر تصادفی است که تعداد موفقیت‌ها را نشان می‌دهد، k تعداد موفقیت‌ها است که در بازه بین 0 و n قرار دارد. C(n, k) نمایان‌گر ضریب دوجمله‌ای است که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

از ویژگی‌های توزیع دوجمله‌ای به موارد زیر باید اشاره کرد:

• توزیع گسسته: متغیر تصادفی در توزیع دوجمله‌ای تعداد مشخصی از موفقیت‌ها را به‌صورت گسسته در نظر می‌گیرد.
• مستقل: امکان انجام آزمایش‌ها به‌شکل مستقل وجود دارد، به این معنی که نتیجه یک آزمایش تاثیری بر نتایج آزمایش‌های دیگر ندارد.
• توزیع احتمال: مجموع احتمال‌ها برابر با یک است، به این معنی که احتمال رخداد همه مقادیر ممکن برابر با یک است.

این توزیع در زمینه‌هایی مثل مدل‌سازی پاسخ‌های صحیح و غلط در آزمون‌ها، پیش‌بینی احتمال موفقیت و شکست در آزمایش‌های تکراری و غیره استفاده می‌شود. 

4. توزیع پواسون (Poisson Distribution)

 این توزیع برای توصیف وقوع رویدادها در یک بازه زمانی مشخص استفاده می‌شود، مانند تعداد تماس‌های ورودی به یک مرکز تلفن در یک ساعت. توزیع پواسون برای مدل‌سازی رخدادهای نادر و مستقل در یک بازه زمانی مشخص استفاده می‌شود. این توزیع تعداد رخدادهایی را که در یک بازه زمانی یا یک منطقه مشخص رخ می‌دهند مدل‌سازی می‌کند. توزیع پواسون بر اساس یک پارامتر لامبدا (λ) تعریف می‌شود که نشان‌دهنده میانگین تعداد رخدادها در بازه زمانی یا منطقه مشخص است. مقادیر ممکن برای متغیر تصادفی X که تعداد رخدادها را نشان می‌دهد، اعداد صحیح غیرمنفی هستند. تابع چگالی احتمال توزیع پواسون به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

در این فرمول، e یا عدد اویلر مقداری تقریبا برابر با 2.71828 دارد و k تعداد رخدادها را نشان می‌دهد که بین 0 و بی‌نهایت است. !k نمایانگر فاکتوریل k است. از کاربردهای تابع پواسون باید به مدل‌سازی رخدادهای نادر اشاره کرد که می‌توان از توزیع پواسون برای مدل‌سازی تعداد رخدادهای نادر مانند تعداد تماس‌های ورودی به یک مرکز تماس، تعداد حوادث در یک منطقه و غیره استفاده کرد. همچنین، برای تحلیل داده‌های شمارشی نیز کاربرد دارد. توزیع پواسون برای تحلیل داده‌های شمارشی مانند تعداد بازدیدها در یک وب‌سایت، تعداد خطاها در یک سیستم و غیره مورد استفاده قرار می‌گیرد. 

5. توزیع نمایی (Exponential Distribution)

این توزیع زمانی را که می‌گذرد تا وقوع یک رویداد نادر و بر اساس احتمال وقوع آن به وقوع بپوندد نشان می‌دهد، مثل زمان بین دو وقوع زلزله. این توزیع بر اساس پارامتر لامبدا است که نرخ وقوع رخدادها را نشان می‌دهد، تعریف می‌شود. تابع چگالی احتمال توزیع نمایی به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

f(x) = λ * e^(-λx)

در این فرمول، e همان‌طور که پیش‌تر هم اشاره شد، مقدار 2.71828 را دارد، x نمایانگر زمان بین وقوع دو رخداد مستقل است و λ نماینده نرخ وقوع رخدادها است.

توزیع فوق در زمینه‌هایی مثل مدل‌سازی زمان بین وقوع رخدادها مورد استفاده قرار می‌گیرد. این توزیع معمولا برای مدل‌سازی زمان بین وقوع رخدادهای نادر و مستقلی مانند زمان بین وقوع خرابی یک سیستم، زمان بین وقوع تماس‌های ورودی به یک مرکز تماس و غیره استفاده می‌شود. همچنین، توزیع نمایی معمولا برای مدل‌سازی عمر مفید یک سیستم یا قطعه مورد استفاده قرار می‌گیرد. به‌عنوان مثال، می‌توان از آن برای تخمین عمر مفید یک لامپ، باتری یا دستگاه الکترونیکی استفاده کرد. علاوه بر این، توزیع نمایی برای تحلیل داده‌های مربوط به سرعت و حجم ترافیک شبکه‌های کامپیوتری یا اینترنت کاربرد دارد. 

6. توزیع توانی (Power Law Distribution)

این توزیع برای توصیف داده‌هایی که دارای توزیعی پراکنده و غیرنرمال هستند، مورد استفاده قرار می‌گیرد. به‌عنوان مثال، توزیع قد افراد در جامعه. در توزیع توانی، توزیع احتمال بر اساس یک پارامتر α (آلفا) که نمایانگر شیب منحنی است، تعریف می‌شود. تابع چگالی احتمال توزیع توانی به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

f(x) = C * x^(-α)

در این فرمول، x نمایان‌گر متغیر تصادفی است و C ثابتی است که برای نرمال‌سازی تابع چگالی احتمال به‌کار می‌رود.

از کاربردهای این توزیع می‌توان به کاربرد آن در تحلیل شبکه‌های اجتماعی اشاره کرد که قادر است تعداد لینک‌های ارتباطی یک گره با سایر گره‌ها را نشان دهد. همچنین، توزیع توانی در مدل‌سازی الگوی رفتار استفاده از اینترنت نیز کاربرد دارد. توزیع توانی برای مدل‌سازی توزیع استفاده از اینترنت، مانند توزیع تعداد بازدیدها از وب‌سایت‌ها یا توزیع تعداد پست‌ها و لایک‌ها در شبکه‌های اجتماعی مورد استفاده قرار می‌گیرد. 

7. توزیع تی (T-Distribution)

این توزیع در آمار‌گیری و آزمون فرضیات برای تعیین تفاوت معنادار بین دو مجموعه داده مورد استفاده قرار می‌گیرد. این توزیع برای تخمین پارامترها و انجام آزمون فرضیه‌ها در مورد میانگین یک جمعیت استفاده می‌شود و به‌طور خاص در مواردی که اطلاعات آماری محدود یا ناقص است، کاربرد دارد. توزیع تی، منشعب‌شده از توزیع نرمال تغییریافته است و به وسیله تقسیم بر انحراف معیار نمونه بر میانگین نمونه، به‌وجود می‌آید. به این ترتیب، توزیع تی به میزان تفاوت بین میانگین نمونه و میانگین جامعه توجه می‌کند و بر مقدار نمونه و اندازه نمونه نیز تاثیر می‌گذارد. توزیع تی با استفاده از یک پارامتر به‌نام درجه آزادی (degrees of freedom) تعریف می‌شود. درجه آزادی برابر با اندازه نمونه منهای یک است. بنابراین، برای یک نمونه با اندازه‌ بزرگ، درجه آزادی بسیار بزرگ‌تر از یک خواهد بود و توزیع تی به توزیع نرمال نزدیک‌تر می‌شود. تابع چگالی احتمال توزیع تی با استفاده از پارامتر درجه آزادی به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

f(t) = (1/√(π * ν)) * (Γ((ν+1)/2) / Γ(ν/2)) * (1 + (t^2/ν))^(-(ν+1)/2)

در این فرمول، t نمایانگر متغیر تصادفی است و ν (درجه آزادی) پارامتر توزیع تی است. Γ نمایانگر تابع گاما است.

8. توزیع لگاریتمی (Logistic Distribution)

این توزیع برای مدل‌سازی متغیرهای تصادفی پیوسته که محدوده مقادیر آن‌ها مشخص است، استفاده می‌شود. توزیع لگاریتمی به‌طور معمول برای مدل‌سازی متغیرهایی مانند زمان بین وقوع رویدادها یا متغیرهای بازه‌ای استفاده می‌شود. این توزیع برای مدل‌سازی و توصیف متغیرهای تصادفی پیوسته با توزیع‌های دوجمله‌ای و نمایی استفاده می‌شود. تابع چگالی احتمال توزیع لگاریتمی با استفاده از دو پارامتر موقعیت (location) و مقیاس (scale) به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

f(x) = (1 / (s * (1 + e^(-(x - m)/s))^2

در این فرمول، x نمایان‌گر متغیر تصادفی است و m و s به ترتیب نشان‌دهنده پارامترهای موقعیت و مقیاس هستند. پارامتر موقعیت، مکان مرکزی توزیع را تعیین می‌کند و پارامتر مقیاس، میزان پراکندگی داده‌ها را کنترل می‌کند. از ویژگی‌های توزیع لگاریتمی به موارد زیر باید اشاره کرد:

• شکل منحنی: توزیع لگاریتمی دارای شکل S شکل است. منحنی این توزیع در نقطه میانی به بیشینه مقدار خود می‌رسد و سپس به سمت دو نیمه‌ منفی و مثبت محور x کاهش می‌یابد.
• توزیع پیوسته: متغیر تصادفی در توزیع لگاریتمی مقادیر پیوسته را می‌پذیرد.

از کاربردهای توزیع لگاریتمی به موارد زیر باید اشاره کرد:

• مدل‌سازی: توزیع لگاریتمی می‌تواند برای مدل‌سازی متغیرهای تصادفی در حوزه‌های مختلف مانند آمار، اقتصاد، علوم رایانه و مهندسی استفاده شود. این توزیع معمولا در مدل‌سازی رویدادها و احتمالات وقوع آن‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد.
• تحلیل تجمیعی: توزیع لگاریتمی برای تحلیل تجمیعی داده‌ها مانند تجزیه‌وتحلیل تجمعی در آمار و احتمالات استفاده می‌شود. این توزیع می‌تواند به تحلیل توزیع احتمالاتی میان متغیرها کمک کند و با استفاده از پارامترهای موقعیت و مقیاس، داده‌ها را توصیف کند.
• شبیه‌سازی: توزیع لگاریتمی به‌عنوان توزیع ورودی در شبیه‌سازی‌ها استفاده می‌شود. با استفاده از این توزیع، می‌توان داده‌های تصادفی با ویژگی‌های خاصی مانند متوسط و واریانس مشخص تولید کرد.

موارد یادشده تنها چند نمونه از توزیع‌های آماری رایج هستند، هرچند در علم آمار و احتمالات توزیع‌های دیگری نیز وجود دارد که برای توصیف داده‌ها استفاده می‌شوند. با این‌حال، توزیع‌های فوق به‌دلیل اهمیت زیادی که دارند نیازمند صرف وقت بیشتری هستند. بنابراین، اگر دانشجو، دانش‌آموز یا متخصصی هستید که حوزه کاری‌تان به نوعی با داده‌ها و ارقام در ارتباط است، پیشنهاد می‌کنم دانش خود را در مورد مدل‌های معرفی‌شده افزایش دهید.